Summary T33131 Discrete Wiskunde B

-
224 Flashcards & Notes
6 Students
  • This summary

  • +380.000 other summaries

  • A unique study tool

  • A rehearsal system for this summary

  • Studycoaching with videos

Remember faster, study better. Scientifically proven.

PREMIUM summaries are quality controlled, selected summaries prepared for you to help you achieve your study goals faster!

Summary - T33131 Discrete Wiskunde B

  • 5 Blok 5 Kansrekening en Stochastiek

  • Wat is de samenhang en het verschil tussen combinatiereroriek, kansrekening en stochastiek?
    antw
  • In de Combinatieretoriek en in de kansrekening komt de somregel voor. Beschrijf ze, de verschillen en de overeenkomsten.
    Combinatieretoriek: Somregel:

    Kansrekening: Somregel: De kans op een bepaalde uitkomst is de som van de de kansen op de individuele gebeurtenissen, de elementen van de uitkomst. (Reminder: uitkomst is een deelverzameling van de uitkomstruimte; gebeurtenis is een deelverzameling van de uitkomst)
  • Welke technieken komen in zowel combinatieretoriek als kansrekening voor? Waarom zijn ze in beide gebieden toepasbaar? Wat zijn de overeenkomsten, de verschillen en de samenhang?
    De somregel, verzameling regel over de aantallen elementen bij conjuncte en disjuncte verzamelingen.
  • 5.1 Blok 5 LE 13 Combinatieretoriek

  • Definitie 13.1 Wat is het verband tussen een n-verzameling en een k-deelverzameling?
    Aantallen k-Deelverzamelingen van n-Verzamelingen worden geteld. k staat voor de grootte van de deelverzameling. n staat voor totaal aantal elementen in de hoofdverzameling. Een 2-deelverzameling bevat dus 2 elementen. Aantal 2 deelverzamelingen van een n-verzameling is het aantal mogelijke deelverzamelingen met 2 elementen uit de hoofdverzameling met n elementen. Hoeveel k-deelverzamelingen er zijn van een n-verzameling hangt af van welke telcombinatie wordt gehanteerd,
  • Wat betekent combinatieretoriek? Waarom is hier voor het woord retoriek gekozen?
    Het woord retoriek betekent welsprekendheid zonder inhoud. Dit hoofdstuk behandelt 4 telcombinaties op basis van 2 variabelen: ordening/rangschikking en herhaling. In dit hoofdstuk worden voornamelijk aantallen deelverzamelingen geteld. Wat er precies geteld wordt, de inhoud dus is niet van belang.
  • 13.2: Wat we tellen ofwel wat de elementen van de verzamelingen zijn maakt niet uit. We nummeren de elementen om ze uniek te kunnen onderscheiden. Let bij de opgaven op verschil met elementnummers en aantallen elementen!
  • Welke 3 telcombinaties worden behandeld?
    geordend: met en zonder herhaling. Ongeordend alleen zonder herhaling. (blz 26)
  • Waarom heet de somregel de somregel? (Dit is stelling 13.1)
    als twee eindige verzamelingen geen elementen gemeen hebben dan is het  aantal elementen in de vereniging van die 2 verzameling het aantal van de som van de beide verzamelingen elementen.
  • Waarom heet de productregel ook wel keuzeprincipe?
    de productregel houdt in: 2 eindige verzamelingen is het aantal mogelijkheden om een element van verzameling A te combineren met een element van verzameling B |A| x |B|. ( |A| betekent aantal elementen van verzameling A.) Bij elk element van A kan elk element van B worden gekozen. Of de verzamelingen disjunct zijn (geen elementen gemeen) of niet doet hier niet ter zake.
  • Waarom geldt dat bij de productregel dat de keuze uit twee verzamelingen onafhankelijk moet zijn?
    Als de keuze afhankelijk is dan zijn na de keuze van een element uit A niet meer alle elementen van B beschikbaar om een combinatie te vormen.
  • Wat zijn de kenmerken van een k-herhalingsrangschikking van een N-verzameling X?
    Dat is een verzameling met een aantal van k elementen. Elk element uit de herhalingsrangschikking is ook een element van X. Elk element van de X kan meerdere keren voorkomen in de k-herhalingsrangschikking.
    Het aantal k-ranschikkingen van X:  n boven k x k!.
    Het aantal deelverzamelingen van k elementen uit X = n boven k.
  • 13.4 Stelling 13.2: Wat is de formule voor het aantal k-herhalingsrangschikkingen van N-verzameling X? (Geordend met herhaling) en waarom is dat zo en niet andersom?
    Formule = N tot de macht K. Elk element van X kan op elke plek van de k-herhalingsrangschikking terecht komen. Op de eerste plek zijn N mogelijkheden (= aantal elementen van X), op de tweede plek zijn N mogelijkheden en op de k-de plek zijn N mogelijkheden. Aantal varianten zijn dan:N x N x .... en dat K keer. N x N = N tot de macht 2 (N kwadraat). N x N x N = N tot de macht 3. N x N x ...totaal k keer = N tot de macht k. Uitgangspunt is steeds het aantal mogelijkheden op iedere positie van de k- herhalingsrangschikkingverzameling. En niet de positie of het aantal elementen ervan de k-herhalingsrangschikingverzameling.
  • 13.4 Waarom wordt stelling 13.3 genoemd in de paragraaf van de Herhalingsrangschikkingen? Stelling 13.3 = Een n-verzameling heeft 2 tot de macht n deelverzamelingen.
    Omdat ook bij deze berekening wordt uitgegaan van de elementen van de hoofdverzameling N-verzameling. Om het aantal deelverzamelingen te berekenen neem je van elk element uit hoofdverzameling N en ga je uit van de mogelijkheid of dit element wel of niet in een deelverzameling zit. Eerst het eerste element: 2 mogelijkheden (ja of nee): 2 dus. 2e element: ook 2 mogelijkheden. 1e en 2e element samen 2 x 2 = 4 mogelijkheden. Derde element, ook 2 mogelijkheden: 2 x 2 x 2 dus. k-de element: 2 x 2 x ...2 (totaal k x 2). antwoord dus 2 tot de macht k.
  • 13.5 Wat betekent permutatie?
    Volgorde of rangschikking Het aantal permutaties van verzameling X is dus het aantal mogelijke volgorden (rangschikkingen) van de elementen van X. Let op: geordend zonder herhaling!
  • 13.5: Het aantal permutaties (volgorden of rangschikkingen) van een n-verzameling = n!
  • 13.5 Hoe bereken je het aantal permutaties (rangschikkingen of volgorden) van de elementen van verzameling X?
    stel X heeft n elementen, dan is het aantal mogelijke elementen op plek 1 n mogelijkheden. Geen van de elementen is namelijk al weggegeven. Op plek 2 zijn n - 1 mogelijkheden, 1 element is namelijk al op plek 1 gezet. Op plek 3 zijn n - 2 mogelijkheden. Totaal aantal mogelijkheden = 1 x 2 x 3 x 4 x ...x n. oftewel n! (n faculteit)
  • 13.5: Definitie 13.4: een k-rangschikking uit n-verzameling X is een rij van k verschillende elementen uit X. Let op: dit is een geordend zonder herhaling. Het woord "verschillend"geeft aan dat het zonder herhaling is.
  • Wat is het verschil tussen een k-rangschikking uit n-Verzameling X en een deelverzameling van k elementen uit n-Verzameling X?
    Bij een k-rangschikking is ook de volgorde (rangschikking) van belang. De k-deelverzameling is ongeordend. Er zijn dus minder (in aantal) k-deelverzamelingen dan k-rangschikkingen.
  • 13.5 Hoeveel k-rangschikkingen zijn er van één k-deelverzameling van n-hoofdverzameling X? En hoeveel k-rangschikkingen zijn er in totaal van n-verzameling X?
    Er zijn k! rangschikkingen van één deelverzameling van n-hoofdverzameling X. Om hiertoe te komen beschouw je de k-deelverzameling als de hoofdverzameling en bepaal hoeveel verschillenden volgorden (permutaties of rangschikkingen) de k-deelverzameling kan aannemen. Antwoord op de 2e vraag: per k-deelverzameling zijn er k! rangschikkingen. Dit aantal vermenigvuldigen met het totaal aantal k-deelverzamelingen van n-hoofdverzameling X. Zie stelling 13.6 blz 36.
  • 13.5 Het aantal k-rangschikkingen  uit n- hoofdverzameling X ( X heeft dus n elementen) = n! / (n-k)!
     Let op: geordend (met rangschikking),  zonder herhaling!
  • Wat is het verschil van het aantal k-rangschikkingen (zonder herhaling, geordend) uit n- verzameling X me het aantal k-deelverzamelingen (= deelverzamelingen van X met k elementen)?
    Stelling 13.7:
    In een deelverzameling komt de samenstelling van dezelfde groep elementen uit X maar 1 keer voor. Terwijl het in het aantal rangschikkingen k! x voor komt. Qua formule is het aantal deelverzamelingen dus: (n onder k) (= n kies k) = n! / (n-k)! / k! = n! / k!(n-k)!
  • Wat is een binomiaal coëfficiënt?
    Een binomiaal coëfficiënt wordt ook wel kiesgetal genoemd. Het is de uitkomst van n kies k ofwel n boven k.  n boven k = n! / k!(n-k)! .
    door voor en achter =  te vermenigvuldigen met k! krijg je   
    n kies k  = n! / k!(n-k)! = (n kies k) k! / (n - k)!
  • Stelling 13.11: (n+1) kies k = n kies k + n kies (k-1). Bewijs is onder andere gebaseerd op het feit dat (n+1)! / (n+1) = n! 
    ofwel een faculteit van een getal delen door de hoogste waarde van 1x2x3x...n, dus delen door n = de faculteit van n-1 dus (n-1)! Voorbeeld: 7! / 7 = 6!. Het verwarrende zit hem dat bij de stelling (n+1) uitgangspunt is en niet n. Kijk dus goed waar de ! geplaatst is tussen de stappen. Dan is het prima te volgen.
  • Waarom wordt de driehoek van Pascal in dit hoofdstuk in deze paragraaf behandeld?
    De driehoek van Pascal geeft een oplopende driehoek van cijfers weer. De punt bestaat uit 1. De nummering van de rijen begint met de eerste rij als rij 0. In de onderliggende rijen zijn de getallen steeds de optelsom van 2 getallen in de rij erboven. met aan de linker uiteinden en rechter uiteinden fictief een 0. Het aantal getallen per rij is steeds rijnummer +1.
    De getallen per rij zijn steeds te krijgen door aantal getallen te bepalen (= rijnummer +1) en dan achtereenvolgens te berekenen n kies 0, n kies 1, n kies 2, ... n kies k,... n kies n-2, n kies (n-1), n kies n. n kies 0 en n kies n verklaart de 1 op de beide uiteinden van de rij.
    De driehoek verklaart ook waarom (n+1) kies k = (n kies k)  + (n kies k -1)
  • Wat is het binomium van Newton?
    Binomium betekent in het Latijn tweeterm. Het geeft het verband aan tussen (x + y) tot de macht n en legt een link naar de driehoek van Pascal. Waarbij n ieder natuurlijk getal kan aannemen. Als je dat moet ontbinden in factoren is het bij n = 2 of n = 3 nog wel te doen. Maar het wordt al moeilijker als n =5. Hoe dit op te lossen? Je gebruikt hierbij de driehoek van Pascal. Als x = 5 kijk je naar rij 5.  De getallen geven aan 5 kies 0, 5 kies 1, 5 kies 2, 5 kies 3, 5 kies 4, 5 kies 5 dus 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1. Die geven meteen ook het aantal xy variaties aan (in dit geval 6) en wat voor elke xy variatie de binominaal coëfficient is. Antwoord bij ontbinden in factoren van (x + y) ^5 = 
    x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10 x^2y^3 + 5xy^4 + y^5. Bij elk volgende factor een macht aftrekken van x en een macht optellen bij y.
  • leg uit hoe je (x + y)^9 zou ontbinden in factoren
    De machtsfactor geeft het rijnummer van de driehoek van Pascal aan. Schrijf de factoren uit vanaf x^9 tot en met y^9. De getallen waarmee de factoren worden vermenigvuldigd, dit heten de coëfficiënten, zijn de getallen op de 9e rij van de driehoek, dus: 9 kies 0; 9 kies 1; 9 kies 2; ... 9 kies 9. Je kan dit uitrekenen met de formule of de driehoek van Pascal uitschrijven tot en met rij 9.
  • leg uit hoe je (x + y)^a  zou ontbinden in factoren
    De machtsfactor A geeft het rijnummer van de driehoek van Pascal aan. Schrijf de factoren uit van x^a tot en met y^a. De coëfficiënten waarmee factoren moeten worden vermenigvuldigd zijn de getallen op rij a van de driehoek van Pascal, (De top is rij 0).
    Die getallen kan je vinden door de driehoek uit te schrijven tot en met rij a. Of door met de formule uit te rekenen a kies 0; a kies 1; a kies 2; ... a kies a.
  • Beschrijf de somregel
    Als de doorsnede van 2 verzamelingen leeg is dan is het aantal elementen van de vereniging van de twee verzamelingen gelijk aan de SOM van het aantal elementen van beide verzamelingen.
  • Stelling 13.10 boek blz 40: n kies k = n kies (n-k)
    op twee manieren te verklaren:
    een aantal kiezen uit een verzameling is hetzelfde als de rest niet kiezen.
    of door in de formule n kies k de k te schrijven als (n- (n-k)). Zie blz 40
  • Beschrijf de productregel
    Voor 2 eindige verzamelingen A en B is het aantal manieren om een element uit A en een element uit B te kiezen |A| . |B|; dus het product van |A| en |B|.
Read the full summary
This summary. +380.000 other summaries. A unique study tool. A rehearsal system for this summary. Studycoaching with videos.

Latest added flashcards

Wat is de definitie van het aantal vrijheidsgraden? Waarom?
Het aantal vrijheidsraden is het aantal onbekenden minus aantal pivots.
Een pivot is een parameter voor een onbekenden (x-en) die ongelijk aan 0 is.
Als je 4 onbekenden hebt en 3 pivots is 1 x niet op te lossen. Die druk je dan uit in labda. Aangezien je hier een willekeurig getal kan kiezen om de vergelijking kloppend te krijgen wordt dit gezien als een vrijheidsgraad.
Als je 4 onbekenden hebt en 2 pivots dan maak je gebruik van 2 Griekse letters. Dan heb je dus 2 vrijheidsgraden.
Hoe formuleer je een oplossing voor een stelsel met oneindig veel oplossingen?
Door het weer te geven in de vorm van een parameter die staat voor een elk getal. 
je zet x3 gelijk aan parameter L(abda).
Labda vuk je in in de tweede regel en die vereenvoudig je tot x2 = labda huppeldepup. Dan heb je voor x3 = labda en x 2 is labda huppeldepup en dat vul je in in de bovenste regel waarna je opnieuw vereenvoudigd.. De uitkomst is dan voor x1, x2 en x3 een waarde uitgedrukt in labda.
Hoe herken je een stelsel met oneindig veel oplossingen?
bij de gausseliminatie komt op de onderste rij 0 = 0 uit. Die uitspraak is waar maar bevat geen informatie over onbekenden.
Hoe herken je een strijdig stelsel
geen snijpunten. ui de gauss eliminatie komt onderaan de uitkomst 0 = n waarvoor n voor staat voor een getal ongelijk aan nul.
Wat is het verband tussen een uitgebreide matrix en een coëfficiëntenmatrix?
Een matrix is een weergave van alleen de coëfficiënten van de vergelijkingen. Alle x-en worden dus weggelaten. De matrix bevat rijen en kolommen: elke rij zijn de coëfficiënten van één vergelijking. 
Elke kolom vormt dezelfde coëfficiënten van elke vergelijking.
In de uitgebreide matrix wordt achter de vertikale streep  ook het rechterlid weergegeven.
Wat zijn de 3 meest elementaire bewerkingen van een gausseliminatie?
1. Een constante maal een vergelijking optellen of aftrekken van een andere vergelijking.
2. Een vergelijking delen door een constante (= vereenvoudigen)
3. 2 vergelijkingen wisselen in de volgorde.
Deze bewerkingen kunnen in willekeurige volgorde worden toegepast.
laatste vraag
antw
Wanneer is er sprake van een driehoeksvorm?
Wanneer er evenveel pivots zijn als onbekenden.
Waarom mag de pivot geen 0 zijn?
dan kan de bijbehorende x niet geëlimineerd worden. immers 0x is niet te elimineren, die is al geëlimineerd. Bij 0 x kan x elke waarde aannemen dus daar kan je niet de waarde van bepalen.
Wat is een pivot?
Pivot is in het Engels spil of draaipunt. In deze leereenheid staat pivot voor de coëfficiënt wat op dat moment wordt geëlimineerd.